CSCI3130 T02 · Part 1 集合恒等式

课程：CSCI3130 · 2025T1 本讲：第1部分 / 共4部分，按Outline四题分篇 · T02-2025T1.pdf（本地课件） p.1–5 定位：将补集与交并运算翻成元素命题，完成双向包含证明。 前后：上一份 T01 · 下一份 文法构造 承接：#L01-02 全集、#L01-03 集合运算、#L01-05 子集

整讲导航：P1 p.1–5、P2 p.6–8、P3 p.9–11、P4 p.12–15。

标题与题目导航（p.1–3）

p.1 为2025年9月14日辅导课标题，p.2 总Outline，p.3 高亮Problem 1。四题依次对应集合、文法、DFA、NFA；这些旧辅导课不当作2026学期新发布材料。

第二条德摩根律（p.4–5）【已会】

题面块（T02 · Problem 1 · PDF p.4；公式按原图重排）：

p.4 Prove the second DeMorgan’s Law $\overline{A\cap B}=\overline A\cup\overline B$.

p.4出题，p.5同页脚4/10追加证明，合并说明。所有补集相对于同一个全集U。

任取x。若x属于左侧，它不同时属于A和B，所以至少不在其中一个集合，即属于A补或B补，得到左包含右。反过来，若x属于右侧，它至少缺少A、B中的一个成员资格，因此不在交集中，即属于交的补集，得到右包含左。两方向成立，集合相等。关键逻辑是“不是同时成立”对应“至少一个不成立”，不是“两个都不成立”。

把原页两列证明合写为一条逐项可逆链，就是

从左向右读是第一个包含方向，从右向左读是第二个；任意 x 都满足同一成员条件，才得到集合相等。

算一遍（自取集合）：U={1,2,3,4}，A={1,2}，B={2,3}。交为{2}，左侧{1,3,4}；两补分别{3,4}、{1,4}，并也是{1,3,4}。数例核对直觉，但不能代替对任意集合的证明。

考试角度：（C 级 通识）常见考法是要求写两个包含方向，或指出把“或”误写成“且”的位置。

“不是同时属于”怎样变成“至少一个不属于”（补充）

固定同一个全集 U，任取 $x\in U$。令 P 表示 $x\in A$，Q 表示 $x\in B$。左侧 $x\in\overline{A\cap B}$ 表示 $\neg(P\land Q)$；右侧 $x\in\overline A\cup\overline B$ 表示 $(\neg P)\lor(\neg Q)$。四种情况中，只有 P、Q 都真时两侧都假；P 假 Q 真、P 真 Q 假、两者都假时两侧都真。因此这里的“或”包含“两者都不属于”，并非只能选择一个。

写双向包含证明，是把这张真值表转换成集合论的语言：从左侧取任意元素，用“不同时属于”推出至少一个缺席，再放入右侧；反向则由至少一个缺席推出不可能同时属于交集。全集必须固定，因为补集中的元素来自 U；更换 U 会改变补集本身，即使公式形式看起来一样。

本讲核心考点

• 补集必须共用全集（p.4–5，C 级）。
• 双向包含逐元素证明德摩根律（p.5，C 级）。

附录

本题的完整证明已在正文，对应辅导原题，不另生成提交答卷。

来源与证据

历史版本考试证据（本次未重新读取全部试卷）：读了 HW01-2025T1-题目.pdf、HW01-2026T1-题目.pdf、HW02-2025T1-题目-更新.pdf、HW03-2025T1-题目.pdf、HW04-2025T1-题目.pdf、HW05-2025T1-题目.pdf、期中练习-含解答-学期待核.pdf、期末-2022T1-资料包.pdf、Final-Exam-2023T1-题目.pdf、Final-Exam-2024T1-题目.pdf、Final-Exam-2025T1-题目.pdf、期末-2023T1-资料包.pdf、期末-2024未核-资料包.pdf；未识别用途的 PDF：无

• 原件：T02-2025T1.pdf（本地课件），PDF p.1–5。

• 本次独立学习修订：核对对应辅导原件全部文本与本篇题面，保留完整规则、转移与证明。视觉复核物理页5、11、14–15。