CSCI3130 L01 Part 2/2 Three Basic Concepts

课程：CSCI3130 Formal Languages and Automata Theory · 2026T1 本讲：L01 Part 2/2 Three Basic Concepts · 原件 L01-数学基础-2026T1.pdf（本地课件） p.55–90 定位：理解字母表、字符串、语言和文法四个层次；能重算语言运算，并证明一个文法恰好生成指定语言。前后：上一份 L01-P1-数学预备.md · 下一份 L02-P1-确定有限自动机.md

p.55 Outline 分节页；p.56 列 languages、grammars、automata，并将自动机留到下一章。

Three Basic Concepts

字母表、串与语言（p.57–58）【新】

p.57 A language is a set of strings

p.57 String: A sequence of symbols from the alphabet

p.57 的**字母表（alphabet）**给出允许使用的符号；**字符串（string）**是有限个符号按顺序排列；**语言（language）**是一些字符串组成的集合。p.58 取 $\Sigma=\{a,b\}$ ，其中a是符号，ab是长度2的串， $\{ab\}$ 则是含一个串的语言。顺序属于串的一部分，所以ab与ba不同；集合本身的列举顺序不改变语言。

后续判断表达式时先问它的类型。 $w\in L$ 合法，因为左边是串、右边是语言；如果写成 $w\subseteq L$ ，便把串错误地当作集合。相反， $L\subseteq\Sigma^{\ast}$ 正是在比较两组串。

p.57 用字母表 $\Sigma=\{a,b,c,\ldots,z\}$ 给出 cat、dog、house 作为字符串例子。p.58 缩小到 $\{a,b\}$ ，列出 a、ab、abba、baba、aaabbbaabab，并命名 $u=ab,v=bbbaaa,w=abba$ 。u、v、w 是代表整个串的变量名，不是额外加入字母表的字符。一个符号不能在这一行悄悄换成一个串而不说明，这种类型检查贯穿整门课。

连接与反转（p.59–60）【新】

p.59 的连接（concatenation）将后一串原样接到前一串后： $w=abba,v=bbbaaa$ ，得到 $wv=abbabbbaaa$ 。字符既不排序也不合并，末尾a与开头b都保留。

p.60 将 $w=ababaaabbb$ 从右向左逐符号读取，得到 $w^R=bbbaaababa$ 。上标R是反转操作，不是乘方。补充：反转连接时，先后两段也交换位置，所以 $(uv)^R=v^Ru^R$ ；例如u=ab、v=baa，则uv=abbaa，反转aabba，而 $v^Ru^R=aab\,ba=aabba$ 。这组用于解释顺序的字符串为补充自取。

串长与空串（p.61–63）【新】

p.61 用 $\lvert w\rvert$ 表示字符个数：abba长4、aa长2、a长1。p.62 取u=aab长3、v=abaab长5，连接uv=aababaab长8，所以 $\lvert uv\rvert=\lvert u\rvert+\lvert v\rvert=3+5=8$ 。连接把两段字符都保留，长度相加的原因就在这里。

p.63 定义空串（empty string） $\lambda$ ，长度0。它是一个合法字符串，只不过没有字符； $\lambda w=w\lambda=w$ 。以abba为例，左右加一段零字符都还是abba。空串不是打印出的希腊字母本身，而是用该记号表示“零个字符”。

子串、前后缀和串的幂（p.64–66）【新】

p.64 a subsequence of consecutive characters

p.64 的关键词是consecutive：substring必须连续，不能任意跳过中间字符。abbab包含ab、abba、b、bbab。p.65 更严格地固定位置：prefix从开头取，suffix从结尾取；两者都包括空串与整个原串。

表（p.65）：abbab的前缀和后缀。

Prefixes	Suffixes
λ	abbab
a	bbab
ab	bab
abb	ab
abba	b
abbab	λ

p.66 的 $w^n$ 是把同一个w连续连接n次。 $(abba)^2=abbaabba$ ，长度 $2\cdot4=8$ ； $w^0=\lambda$ ，相当于连接零份。不要把 $w^2$ 写成将每个字符分别重复两次。

全部串与语言（p.67–69）【新】

p.67 的 $\Sigma^{\ast}$ 收集字母表能构成的所有有限串，包含 $\lambda$ 。对 $\{a,b\}$ ，先有长度0的空串，再有a、b，再有aa、ab、ba、bb。p.68 的 $\Sigma^+$ 只收非空串，所以 $\Sigma^+=\Sigma^{\ast}-\{\lambda\}$ 。这里一个字母本来就非空，删掉空串的结论没有额外障碍。

p.69 的语言是 $\Sigma^{\ast}$ 的任意子集，不要求有限、不要求已经知道算法，也不要求包含某种有意义的英文单词。 $\{\lambda\}$ 、 $\{a,aa,aab\}$ 都是语言；“所有串”本身也是语言。

p.69 的第三个有限语言例子是 $\{\lambda,abba,baba,aa,ab,aaaaaa\}$ 。它有六个成员；最长成员有六个字符，但这是巧合，语言成员数与最长串长度本来是两个独立的量。p.68 的课件写“Σ 的星闭包减 λ”，这里用 $\{\lambda\}$ 明确表示从集合里删去空串这个成员，避免把集合差误写成集合减一个字符串。

空语言、匹配计数与集合运算（p.70–72）【新】

p.70 强调 $\varnothing\ne\{\lambda\}$ 。前者有0个串，后者有1个串，而那个串的长度是0。把“集合有多少成员”和“一个成员有多长”分开，就不会被两个0混淆。

p.71 的 $L=\{a^nb^n:n\ge0\}$ 要求所有a先出现，接着同样多的b。n=0得空串，n=1得ab，n=2得aabb；abb有1个a、2个b，不属于L。abba虽数量相等，但顺序不符合“a段后接b段”，也不属于这个语言（此反例为补充）。

p.72 直接沿用集合运算： $\{a,ab,aaaa\}\cup\{bb,ab\}=\{a,ab,bb,aaaa\}$ ；交集只有ab；前者减后者剩a、aaaa。补语言以 $\Sigma^{\ast}$ 为全集，即 $\overline L=\Sigma^{\ast}-L$ ，因此求补前必须说明字母表。

p.71 还列 aaaaabbbbb 为成员，对应 n=5。p.72 的补语言例子在 $\Sigma=\{a,b\}$ 下取 $L=\{a,ba\}$ ，那么 $\overline L$ 包含 λ、b、aa、ab、bb、aaa 及其余所有串，唯独排除 a 与 ba。按长度枚举时，长度0有 λ；长度1删去 a 后剩 b；长度2从 aa、ab、ba、bb 中删去 ba 后剩 aa、ab、bb。这解释了课件省略号怎样继续，而不是让读者猜“补”是否仅指字母 a、b 的互换。

语言的反转与连接（p.73–74）【新】

p.73 的 $L^R=\{w^R:w\in L\}$ 是把每个成员各自反转。 $\{ab,aab,baba\}^R=\{ba,baa,abab\}$ ； $\{a^nb^n:n\ge0\}^R=\{b^na^n:n\ge0\}$ 。它不是把集合列举顺序颠倒。

p.74 的 $L_1L_2=\{xy:x\in L_1,y\in L_2\}$ 要枚举所有左右选择。原例左边a、ab、ba，右边b、aa，逐项得到a+b=ab、a+aa=aaa、ab+b=abb、ab+aa=abaa、ba+b=bab、ba+aa=baaa，最终集合有这六个串。补充：选择对的数量是两基数相乘，但结果串可能重复；不能一般断言连接语言的基数必为乘积。

把“选择一对”和“得到一个串”分开（补充自取例）：令 $A=\{\lambda,a\}$ 、 $B=\{a,aa\}$ 。四对选择依次是 $(\lambda,a)$ 、 $(\lambda,aa)$ 、 $(a,a)$ 、 $(a,aa)$ ，得到 a、aa、aa、aaa。因此 $AB=\{a,aa,aaa\}$ ，只有三个成员；中间两对不同，但连接后留下的串相同，集合不能存两份 aa。这也说明看见 aa 时，分界位置不一定唯一。以后 NFA 猜连接边界、CFG 出现不同推导时，都要区分“过程不同”与“最终串不同”。

再检查两个极端： $A\{\lambda\}=A$ ，因为右边总能选中那个零字符串； $A\varnothing=\varnothing$ ，因为右边连一次选择也做不了。前者是“选中长度为零的对象”，后者是“没有对象可选”，不是同一种零。

把 p.74 的完整笛卡尔选择写成表，就能同时看见连接顺序与每一对输入：

左串	右串 b	右串 aa
a	ab	aaa
ab	abb	abaa
ba	bab	baaa

表里六格确实互不相同，才得到六元素语言。补充：为什么通常只能说“不超过乘积”：若左、右语言均为 $\{\lambda,a\}$ ，四个选择得到 λ、a、a、aa；两个不同选择都得到 a，所以最终语言只有三个元素。

语言幂允许每份选择不同成员（p.75–76）【新】

p.75 的 $L^n$ 是n份语言的连接，每份都可独立选成员。 $\{a,b\}^3=\{aaa,aab,aba,abb,baa,bab,bba,bbb\}$ ，总共 $2^3=8$ 种； $L^0=\{\lambda\}$ ，它是含空串的语言，不能写成裸空串。

p.76 对 $L=\{a^nb^n:n\ge0\}$ 得 $L^2=\{a^nb^na^mb^m:n,m\ge0\}$ 。n与m独立，因为第一次与第二次从L选串可以选不同长度。取n=2、m=3得到aabb与aaabbb，连接aabbaaabbb；不能将两次选择强制成相同n。

考试角度：（A 级：HW01-2026T1-题目.pdf Q3，考p.75的语言三次幂及独立选串）枚举时先列选择，再按最终字符串去重；当前作业不在此直接列出完整提交答案。

p.75 还专门给出 $\{a,bba,aaa\}^{0}=\{\lambda\}$ 。零次幂不需要从原语言选任何成员，因此结果不依赖这三个串是什么。这也解释了为什么它不是空语言：没有选取动作，仍然得到一个结果——零字符的串。

星闭包与正闭包的边界（p.77–78）【新】

p.77 定义 $L^{\ast}=\bigcup_{n\ge0}L^n$ ，即连接任意有限份，包括0份；p.78 定义 $L^+=\bigcup_{n\ge1}L^n$ ，至少一份。原例 $L=\{a,bb\}$ ，零份产生空串，一份产生a、bb，两份产生aa、abb、bba、bbbb；例如三份a+bb+a得abba。

原页辨析：已视觉核对p.78，页上还写 $L^+=L^{\ast}-\{\lambda\}$ 。这对该页的 $\{a,bb\}$ 成立，但对任意语言需加条件 $\lambda\notin L$ 。若 $L=\{\lambda\}$ ，一份就能产生空串，所以 $L^+=\{\lambda\}$ ，而右边为空集。这是两边实际计算出的反例。无条件成立的是 $L^{\ast}=L^+\cup\{\lambda\}$ ；不能把字母表的 $\Sigma^+$ 与任意语言的 $L^+$ 无条件混用。

Grammars

从英语规则到推导过程（p.79–81）【新】

p.79 Languages can be described as a system of symbols and the grammars (rules) by which the symbols are manipulated

p.79 以规则描述语言；p.80 将句子分成noun phrase和verb phrase，又把短语拆成名字、冠词、名词、动词、介词等。中间类别是等待展开的位置，最终词是展开结束后留下的结果。

题面（L01-数学基础-2026T1.pdf · 英语句子例子 · p.81）

p.81 Look at the sentence. Is this grammatically correct?

p.81 Joe runs from the car.

p.81 的演示从Sentence开始，展开noun phrase为Name再为Joe；verb phrase展开为verb与prepositional phrase；介词短语展开为from加noun phrase；后者再展开为the car；最后verb变成runs，得到目标句。每步只替换一个允许的类别，其他已经出现的词保留。这里检验的是给定规则能否生成这句话，不是在讨论它现实中是否合乎语义。

p.80 的所有短语规则可以按下表直接用于展开；右栏的两行表示可选方案：

待展开类别	允许的组成
Sentence	noun phrase + verb phrase
noun phrase	Name（例如 Joe）；或 article + noun（例如 the car）
verb phrase	verb（例如 runs）；或 verb + prepositional phrase
prepositional phrase	preposition + noun phrase（例如 from the car）

按 p.81 的展开顺序，把每一步留下的串写清楚：

Sentence
noun phrase + verb phrase
Name + verb phrase
Joe + verb phrase
Joe + verb + prepositional phrase
Joe + verb + preposition + noun phrase
Joe + verb + from + noun phrase
Joe + verb + from + article + noun
Joe + verb + from + the + car
Joe + runs + from + the + car

由原页展开的中间步骤：上面把“+”当拼接符号，不作为最终英文句子的字符。原页在 noun phrase 与 Name 之间还插写一行 noun，并把 article + noun 那一行重复一次；这两处不增加新的终结词，不能据此虚造另一套正式英语文法。p.79 的第二条文字说 grammar 研究 governing the use of language 的规则，正是这些展开约定所扮演的角色。

四元组与一步推导（p.82–84）【新】

p.82 A grammar G is defined as a 4-tuple:

p.82 的 $G=(V,T,S,P)$ 中，V是有限变量集合，T是有限终结符集合，S是起始变量，P是有限产生式集合。**变量（variable）**代表待展开的部分；**终结符（terminal）**是最终串中的符号。有限规则可以重复使用，因此不妨碍生成无限语言。

p.83 的一步推导 $\alpha\Rightarrow\gamma$ 在某个上下文中替换一个匹配片段：若 $A\to\beta$ ，则 $\alpha_1A\alpha_2\Rightarrow\alpha_1\beta\alpha_2$ ；两边上下文不变。 $\Rightarrow^{\ast}$ 表示零步或多步，不是Kleene星闭包那个“字符串连接操作”，只是同样使用星号表示任意有限次。

p.84 定义 $L(G)=\{w\in T^{\ast}:S\Rightarrow^{\ast}w\}$ 。必须同时满足从S可达、且只剩终结符。含变量的中间串叫sentential form（句型），不能因为已经能推出来就把它收进最终语言。

p.82 的具体四元组是 $V=\{S\}$ 、 $T=\{a,b\}$ 、起始变量 S、规则集合 $P=\{S\to aSb,S\to\lambda\}$ 。S 虽然同时出现在 V 和第三个位置，角色不同：V 列出所有可以使用的变量，第三个位置从其中指定“从谁开始”。

p.83 顶部的一般规则写 $x\to y$ ，x 属于变量与终结符合起来构成的非空串，y 可以为空串；课件用 (V,T) 记这个混合符号范围。下面的 $A\to\beta$ 是用单个待替换位置示范“一步替换”，不能反过来把所有一般文法都限定成左侧单变量。后续 CFG 才专门施加该限制。

由本页展开的操作：在 aaSbb 中，取左上下文 aa、被替换变量 S、右上下文 bb；使用 $S\to aSb$ ，只替换中间 S，得到 aaaSbbb。使用 $S\to\lambda$ 则得到 aabb。箭头 $\to$ 写在规则表里； $\Rightarrow$ 连接实际运行中的前后句型。零步允许 $S\Rightarrow^{\ast}S$ ，但 S 含变量，所以不属于 $L(G)$ 。

配对生成与额外一个b（p.85–86）【新】

题面（L01-数学基础-2026T1.pdf · Example 1.11 · p.85）

p.85 Consider the grammar: $G=(\{S\},\{a,b\},S,P)$ With P given by $S\to aSb$ , $S\to\lambda$

公式按讲义重排。每用一次 $S\to aSb$ ，左边增加一个a、右边增加一个b；用空产生式结束。算n=2： $S\Rightarrow aSb\Rightarrow aaSbb\Rightarrow aabb$ 。中间aaSbb仍有S，只是句型；最后aabb才是句子。全部结果恰为 $a^nb^n$ ，因为每次增加一对且次序固定；反过来任意n可使用递归规则n次后结束。

题面（同一原件 · Example 1.12 · p.86）

p.86 Find a grammar that generates $L=\{a^nb^{n+1}:n\ge0\}$

公式按讲义重排。原页给 $S\to Ab,A\to aAb,A\to\lambda$ 。先在末尾固定一个b，再让A生成成对的a与b。n=2时 $S\Rightarrow Ab\Rightarrow aAbb\Rightarrow aaAbbb\Rightarrow aabbb$ ；n=0时 $S\Rightarrow Ab\Rightarrow b$ ，所以不能把空串误收进这个语言。

任意顺序的等量a、b（p.87–88）【新】

题面（L01-数学基础-2026T1.pdf · Example 1.13 · p.87）

p.87 $S\to SS$ , $S\to\lambda$ , $S\to aSb$ , $S\to bSa$

p.87 Does this grammar indeed generate the language?

页上的目标语言是 $L=\{w:n_a(w)=n_b(w)\}$ ，公式按讲义重排， $n_a(w)$ 、 $n_b(w)$ 分别数a、b出现次数。与p.85不同，这里没有要求所有a排在b之前。

先证生成的都合法：空串计数相同；外包a、b各加1；SS将两个分别等量的串连接后，总数仍相等。再证合法的都能生成：对长度归纳。空串可由空产生式生成；非空平衡串若首尾相反，去掉它们仍平衡，归纳后用aSb或bSa包回去；若首尾相同，利用前缀计数差可切成两个更短非空平衡串，分别归纳后用SS连接。p.88 的Else省略了切分为什么存在，完整补证见附录 A2。

算一遍（用于展开原文法的补充自取串）：w=abba，首尾同为a，可拆ab与ba； $S\Rightarrow SS\Rightarrow aSbS\Rightarrow abS\Rightarrow abbSa\Rightarrow abba$ 。aabb则无需拆分： $S\Rightarrow aSb\Rightarrow aaSbb\Rightarrow aabb$ 。两条推导都遵守同一套规则。

由 p.88 的 Else 补全必要证明。 假设长度不超过 2n 的全部等量串都能生成，考察长度 2n+2 的串 w。如果首尾同为 a，定义前 k 个字符的计数差 $d(k)=n_a-n_b$ 。第一位后 $d(1)=1$ ；因为最后一位是 a 且总差为0，最后一位之前 $d(2n+1)=-1$ 。每读一个字符，差只加1或减1，因此从1变到−1之间必有一次变成0。取这样的真前缀作为 $w_1$ ，其余作为 $w_2$ 。前缀等量，全串也等量，所以余下的串仍等量；两段都非空且比 w 短，归纳假设可以分别使用。首尾同为 b 的情形把正负互换即可。

于是所有首尾同字符的情况都能先用 $S\to SS$ ，再让左 S 生成 $w_1$ 、右 S 生成 $w_2$ 。首尾不同的情况已由 aSb 或 bSa 覆盖；连同空串基例，完成“所有合法串都能生成”。必要的切分理由已经放在这里，附录只作重复核验，不是完成主线的必读跳转。

等价文法（p.89–90）【新】

p.89 Two grammars G1 and G2 are equivalent if they generate the same language

p.89 比较 $G_1:S\to aSb\mid\lambda$ 与 $G_2:S\to aAb\mid\lambda,A\to aAb\mid\lambda$ 。二者都只加配对的外层a、b，也都能停止。n=0由起始变量直接到空串；n≥1时， $G_2$ 先由S加第一对，再由A加剩下n−1对。n=2的过程 $S\Rightarrow aAb\Rightarrow aaAbb\Rightarrow aabb$ 。变量数量、推导长度和规则写法不同，都不妨碍最终语言相等。

p.90 为Questions结束页。证明等价要比较全部终结符串，列出一两个共同例子只说明语言有交集，远弱于相等。

考试角度：（A 级：HW01-2026T1-题目.pdf Q3–Q4；HW01-2025T1-题目.pdf Q2，考的是语言幂与计数文法。）见附录 A3。

用一个遗漏的串诊断文法（补充自检）

构造文法时，“不会生成坏串”和“能生成所有好串”是两个独立责任。只用 $S\to aSb$ 与 $S\to\lambda$ ，每次都各加一个 a、b，所以确实不会生成数量不等的串；但它只能生成所有 a 在前的串，无法生成 ba。因此它可以描述 p.85 的语言，却不能代替 p.87 的文法。反过来，若为了补 ba 就让 S 任意产生 a 或 b，虽然很容易覆盖目标串，却会额外生成 a，破坏第一项责任。

证明第一项时跟着允许的规则走：基础结果合法，每种构造都保持性质。证明第二项时跟着任意目标串的结构走：目标如何拆成更小的合法串，文法中哪条规则负责把它们装回去。两种归纳的对象不同，不能只把一句“归纳可得”重复两遍。

自检：空语言的星闭包和正闭包分别是什么？

先分别计算零份连接与至少一份连接，不要靠记忆删空串。

展开推理与答案

$\varnothing^0=\{\lambda\}$ ；任何正整数份连接都无法选齐成员，所以为 $\varnothing$ 。故 $\varnothing^{\ast}=\{\lambda\}$ ，而 $\varnothing^+=\varnothing$ 。再比较 $\{\lambda\}^+=\{\lambda\}$ ：至少选一份仍可得到零字符，正闭包并不保证串非空。

本讲核心考点

串与语言的类型、空语言与空串语言（p.57–70；C 级）。
连接、语言幂的独立选择与去重（p.74–76；A 级 HW01 Q3）。
正闭包含空串的条件（p.77–78；C 级，原页等式需限定）。
四元组、句型与生成语言（p.82–84；C 级）。
文法构造必须证明两个包含方向（p.85–89；C 级）。

附录

A2 Example 1.13 的平衡串切分证明（p.87–88）

用 $d(j)$ 表示前j个字符中a的数量减b的数量， $d(0)=d(n)=0$ 。一个a使差值加1，一个b使差值减1。

若平衡串首尾相同且为a， $d(1)=1$ ；最后一个a加入前 $d(n-1)=-1$ ，否则加入a不能让总差回到0。从1到−1每次只改变1，因此中途必然经过0，存在 $1<j<n$ 使 $d(j)=0$ 。前j个字符构成非空平衡串x，其余字符y也平衡，因为总差0减去前缀差0仍为0。两段长度都比原串短。首尾同为b时， $d(1)=-1,d(n-1)=1$ ，同理必经过0。

归纳假设保证 $S\Rightarrow^{\ast}x$ 与 $S\Rightarrow^{\ast}y$ ，于是 $S\Rightarrow SS\Rightarrow^{\ast}xS\Rightarrow^{\ast}xy$ 。首尾相反的情形则删掉一对外层不同字符，用aSb或bSa包回。归纳基础包括空串；长度2的合法串只有ab、ba，分别由aSb、bSa后接空产生式得到。

另一方面，对推导树结构归纳：空产生式得到0比0；aSb、bSa各在已平衡内串上增添一a一b；SS把两组相等计数分别相加，仍相等。因而没有生成任何不平衡串。两个方向合起来，才完成“恰好”的证明。

回到正文：任意顺序的等量a、b（p.87–88）

A3 作业/往年题演练（非讲义内容）：语言幂与计数文法

题面块（HW01-2026T1-题目.pdf（本地课件） · Q3–Q4 · p.1；公式按讲义重排）：

p.1 (25pts) Let L = {ab, b}, list all strings in $L^3$ .

p.1 (25pts) Construct a grammar that generates the language $L=\{a^n b^{2n}:n\geq0\}$ .

Q3三次各自选ab或b，共8个选择。依选择顺序列：(ab,ab,ab)→ababab；(ab,ab,b)→ababb；(ab,b,ab)→abbab；(ab,b,b)→abbb；(b,ab,ab)→babab；(b,ab,b)→babb；(b,b,ab)→bbab；(b,b,b)→bbb。八个结果各不相同，所以集合正是这八串；不能只把每个原成员各重复三遍。

Q4取S→aSbb或λ。递归n次先生成n个a和2n个尾部b，再消S；归纳每次保持两倍关系及段序。任意目标n可选恰n次，因此完整。n=2：S⇒aSbb⇒aaSbbbb⇒aabbbb；n=0直接λ。

题面块（HW01-2025T1-题目.pdf（本地课件） · Q2 · p.1）：

p.1 Find a grammar for the language $L=\{a^n,\text{ where }n\text{ is odd}\}$ . (20%)

指数为非负整数时奇数从1开始。取S→aaS或a。递归k次后结束得a的数量2k+1；每个正奇数都有唯一相应k。例S⇒aaS⇒aaaaS⇒aaaaa，生成5个a，不能生成λ或偶数长度。

回到正文：语言幂与计数文法

来源与证据

历史版本考试证据（本次未重新读取全部试卷）：读了 HW01-2025T1-题目.pdf、HW01-2026T1-题目.pdf、HW02-2025T1-题目-更新.pdf、HW03-2025T1-题目.pdf、HW04-2025T1-题目.pdf、HW05-2025T1-题目.pdf、期中练习-含解答-学期待核.pdf、期末-2022T1-资料包.pdf、Final-Exam-2023T1-题目.pdf、Final-Exam-2024T1-题目.pdf、Final-Exam-2025T1-题目.pdf、期末-2023T1-资料包.pdf、期末-2024未核-资料包.pdf；未识别用途的 PDF：无

原件：L01-数学基础-2026T1.pdf（本地课件），PDF p.55–90。
本次复核：2026-10-13；逐页读取原件文字，视觉核对图片公式、图及文法排版，保留已发布稿的深化段落。